Adrian Javier Bejarano Ochoa
Andres Alejandro Loaiza
Wilmer Arvey Malaver
1- MODELACION CELULAR
La modelación celular se efectúa mediante automas celulare los celulares son herramientas utilizadas en Inteligencia Artificial para la representación de comportamientos complejos de algunos sistemas físicos, mecánicos, biológicos o químicos entre otros.
Para la modelación de sistemas complejos como los autómatas celulares se tienen 3 opciones:
· -Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellos sistemas que sean analógicos),
· -Utilizar métodos aproximados de discretización (el cual tiene algunos problemas de digitalización),
· -Modelar utilizando un Autómata Celular
Los Automatas Celulare están formados por 3 partes:
1. Una lattice discreta (L). Es el arreglo de celdas que tiene el sistema,
2. Una vecindad (r). Son las celdas que se encuentran junto a la celda-estado. De las vecindades depende la forma en como se comportará y como irá evolucionando el autómata a través del tiempo,
3. Las reglas de transición (f). Son funciones de transición local como puede ser: la función de transición celda-estado, o una tabla de transición de la celda-estado. Una función f que puede ser descrita por una fórmula o por reglas de transiciones de la forma u(x)k →xk+1, o simplemente por una tabla de transiciones de celda-estado donde k describe el intervalo de evolución del AC
Una regla de evolución también llamada de transición local, que define la evolución del estado de cada célula dependiendo del estado de su vecindad en la generación anterior
Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.
Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von Neumann en la década de 1950. La teoría de los autómatas celulares se inicia con su precursor John von Neumann a finales de los década de 1940 con su libro Theory of Self-reproducingAutomata.
2- AUTOMATA CELULAR
Un autómata celular es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.
Un autómata celular es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.
No existe una definición formal y matematica aceptada de Autómata Celular; sin embargo, se puede describir a un A.C. como una tupla, es decir, un conjunto ordenado de objetos caracterizado por los siguientes componentes:
· Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros (conjunto Z ) infinitamente extendida, y con dimensión (d) que pertenece a (Z). Cada celda de la cuadrícula se conoce como celula.
· Cada célula puede tomar un valor en Z a partir de un conjunto finito de estados k.
· Cada célula, además, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de células en las cercanías de la misma.
De acuerdo con esto, se aplica a todas las células de la cuadrícula una función de transición ( f ) que toma como argumentos los valores de la célula en cuestión y los valores de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la célula tendrá en la siguiente etapa de tiempo. Esta función f se aplica, como ya se dijo, de forma homogénea a todas las células, por cada paso discreto de tiempo.
Ejemplos de Autómatas Celulares
De una dimensión:
Autómata celular generado con la regla 30.
El AC no trivial más simple consiste en una retícula unidimensional de células que sólo pueden tener dos estados (« 0 » o « 1 »), con un vecindario constituido, para cada célula, de ella misma y de las dos células adyacentes (23=8 configuraciones posibles). Existen 28=256 modos de definir cuál ha de ser el estado de una célula en la generación siguiente para cada una de estas configuraciones, luego existen 256 AC diferentes de este tipo.
3- AUTOMATAS FINITOS
Un autómata finito es un modelo matemático de una máquina que acepta cadenas de un
lenguaje definido sobre un alfabeto A. Consiste en un conjunto finito de estados y un conjunto de transiciones entre esos estados, que dependen de los símbolos de la cadena de entrada.
Q es un conjunto finito de estados
∑ es un alfabeto finito
q0 ع Q Es el estado inicial
Los autómatas finitos se pueden representar mediante grafos particulares, también llamados diagramas de estados finitos, de la siguiente manera:
Una transición desde un estado a otro, dependiente de un símbolo del alfabeto, se representa mediante una arista dirigida que une a estos vértices, y que está etiquetada con dicho símbolo Los estados se representan como vértices, etiquetados con su nombre en el interior.
El estado inicial se caracteriza por tener una arista que llega a él, proveniente de ningún otro vértice.
El o los estados finales se representan mediante vértices que están encerrados a su vez por otra circunferencia.
TIPOS DE AUTOMAS FINITOS
Autómatas finitos deterministas (AFD)
Un AFD o autómata finito determinista es aquel autómata finito cuyo estado de llegada está unívocamente determinado por el estado inicial y el carácter leído por el autómata. Formalmente, un autómata finito determinista (AFD) es similar a un Autómata de estados finitos, representado con una 5-tupla (S,Σ,T,s,A) donde:
Σ es un alfabeto; • S un conjunto de estados; • T es la función de transición: ; • es el estado inicial; • es un conjunto de estados de aceptación o finales.
Al contrario de la definición de autómata finito, este es un caso particular donde no se permiten transiciones lambda (vacías), el dominio de la función T es S (con lo cual no se permiten transiciones desde un estado de un mismo símbolo a varios estados).
A partir de este autómata finito es posible hallar la expresión regular resolviendo un sistema de ecuaciones.
S1 = 1 S1 + 0 S2 + ε
S2 = 1 S2 + 0 S1+
Siendo ε la palabra nula. Resolviendo el sistema y haciendo uso de las reducciones apropiadas se obtiene la siguiente expresión regular: 1*(01*01*)*. Inversamente, dada la expresión regular es posible generar un autómata que reconozca el lenguaje en cuestión utilizando el algoritmo de Thompson, desarrollado por Ken Thompson, uno de los principales creadores de UNIX, junto con Dennis Ritchie. Un tipo de autómatas finitos deterministas interesantes son los tries.
Autómatas finitos no deterministas (AFND)
Un autómata finito no determinista es aquel que presenta cero, una o más transiciones por el mismo carácter del alfabeto . Un autómata finito no determinista también puede o no tener más de un nodo inicial. Los AFND también se representan formalmente como tuplas de 5 elementos (S,Σ,T,s,A). La única diferencia respecto al AFD es T.
AFD: AFND: (partes de S)
Debido a que la función de transición lleva a un conjunto de estados, el automáta puede estar en varios estados a la vez (o en ninguno si se trata del conjunto vacío de estados). Autómatas finitos no deterministas con transiciones λ Un AFND-λ o autómata finito no determinista con transiciones λ permite cambiar de estado sin procesar ningún símbolo de entrada. Cuando el autómata llega a un estado, se encuentra en ese estado y en los estados a los que apunte este mediante una transición λ.
Un automata es un AFND: (partes de S) AFND-λ: (partes de S)
elos 5- QUE SON LOS FRACTALES
Son modelos matemáticos que como los grafos se utilizan como herramientas en situaciones problemáticas de biología, arte, ingeniería, física, físico - química, etc.
Los fractales son “objetos” (geométricos) generados a partir de un objeto geométrico inicial como puede ser un punto, un segmento, un triángulo, un segmento de curva, etc. que se va modificando por medio de la aplicación reiterada de una ley infinitas veces (llamada ley de reproducción).
Como resultado de este procedimiento se obtienen estructuras cuyas partes por pequeñas que sean conservan el mismo aspecto que la versión inicial.
Esta particularidad hace que si se amplía una parte de un fractal, no se puede distinguir la figura ampliada de la original.
Observemos la formación de un helecho fractal.
Los fractales son “objetos” (geométricos) generados a partir de un objeto geométrico inicial como puede ser un punto, un segmento, un triángulo, un segmento de curva, etc. que se va modificando por medio de la aplicación reiterada de una ley infinitas veces (llamada ley de reproducción).
Como resultado de este procedimiento se obtienen estructuras cuyas partes por pequeñas que sean conservan el mismo aspecto que la versión inicial.
Esta particularidad hace que si se amplía una parte de un fractal, no se puede distinguir la figura ampliada de la original.
Observemos la formación de un helecho fractal.
6- CUADRO EXPLICATIVO FRACTALES
| FRACTAL | AUTOR | USO |
| Fue utilizado inicialmente por IBM para Solucionar ruido en las líneas telefónicas y el mal uso del flujo de la información | ||
| triángulo de Sierpinski | matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo el fractal en 1919 | Sierpinski diseñó este Fractal para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ... *El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes y esas 3 se pueden descomponer en otras tres y asi sucesivamente Esta propiedad ha sido utilizada con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales |
| Curva de Hilbert | Se usa en algoritmos de tramado de imágenes sin cortarse nunca a sí misma, podía llenar completamente el interior de un cuadrado | |
| curva de Peano | Giuseppe Peano (1858-1932) | Se utiliza en el estudio de células y mnejo de ADN · no pasa dos veces por el mismo punto · es continua y converge uniformemente · la función que define la curva es inyectiva no hay puntos de cruce, por lo que las hebras nunca se enredan |
| El Conjunto Triádico de Cantor. | Georg Cantor (1845-1918), | · estudio del calor específico del espectro energético · es un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] |
7- CAMPOS DEL CONOCIMIENTO QUE UTILIZAN LOS FRACTALES
| RELACIÓN CON LAS MATEMATICAS |
"Paradójicamente cuando más abstracta se hace la matemática, más concretas resultan sus aplicaciones". La geometría fractal brinda descripciones matemáticas adecuadas para fenómenos naturales. En el Mundo abstracto de la matemática para las estructuras fractales como las consideradas en los ejemplos se denominan fractales ordenadas. En el Mundo real, obvio es, fractales tan ordenados no existen. Como por ejemplo, los litorales, los árboles, los ríos, las nubes, los vasos sanguíneos, las trayectorias de las partículas en movimiento browniano y miles de fenómenos mas "fractales amorfos" constituyen modelos imperfectos que se podrían considerar como "fractales estadísticos o estocásticos". Podriamos decir que los fractales son una idealización ,pues los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que estos tienen. La ecuación de Mandelbrot es z = z² + c. Esta originará diversos fractales según el número de iteraciones n que se operen. |
| RELACIÓN CON LA INFORMATICA |
"En Informática los fractales han revolucionado la tecnología en lo que se refiere a la generación de imágenes y su reproducción. Por medio de programas computarizados se pueden representar fractales a fin de describir los flujos de lava, la distribución de galaxias y otros fenómenos más complejos. Es aquí donde aparecen los modelos de simulación digital tan en boga. Un modelo de simulación digital es un conjunto de instrucciones que traducido a un lenguaje computarizado permite obtener datos del comportamiento del fenómeno que se desea estudiar con el fin de predecir y a veces prevenir fenómenos que resultarían costosos o destructivos si se trataron de experimentar. Como por ejemplo: Estudiar el comportamiento de un reactor nuclear ,el crecimiento poblacional de colonias de bacterias o fenómenos sociales. Estudiar problemas ambientales como factores climáticos, un tornado, el flujo turbulento de un río,incendios de bosque, etc. Estudiar aerodinámica en el diseño de aviones, autos y lanchas. En la figura anterior se muestra una fuerte tempestad modelada por un potente supercomputador amenaza sobre un paisaje artificial. Las bolitas de colores muestran el movimiento del aire en el interior y alrededor de la tormenta. |
| RELACIÓN CON LA NATURALEZA |
Muchos fenómenos de la naturaleza de apariencia aleatoria han podido ser estudiados gracias a los fractales. Porque en este mundo dominado por el caos y la irregularidad los buenos intentos de la geometría clásica no alcanzan, mientras que estos "monstruos " de esta nueva geometría, nos aportan nuevas reglas para conocer y describir la maravillosa y compleja naturaleza. Obeservamos la cristalización de sales de yodo,nafatalina y nos sorprendio la forma de sus bordes. |
9- DATOS BIBLIOGRAFICOS DE CONSTRUCCION DE FRACTALES
Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1.890 por el francés HENRI PONCARÉ. Sus ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia 1.918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedó congelado en los años 20. El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Doctor Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la GEOMETRÍA FRACTAL. En honor a él, uno de los conjuntos que él investigó fue nombrado en su nombre.
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