Los fractales más sencillos son similares a sí mismos, es decir, un pequeño fragmento cualquiera de ellos, con el adecuado cambio de escala, es idéntico al total. Este triángulo recibe su nombre de Waclaw Sierpinski, quien lo propuso en 1915 para poner de manifiesto características geométricas extrañas, en este caso para demostrar que una curva puede cruzarse consigo misma en todos sus puntos.
La figura se obtiene conectando los puntos medios de los tres lados de un triángulo equilátero y seleccionando sólo los tres subtriángulos que se forman en las esquinas, suprimiendo la cuarta parte central del triángulo. Repitiendo este proceso de construcción, quitando fragmentos cada vez más pequeños una y otra vez, infinitas veces, se genera una imagen fractal muy conocida, llamada triángulo de Sierpinski.
Los fractales se caracterizan por su dimensión fractal D, generalización de la dimensión euclídea. Siendo r=2 el factor de escala entre los lados del triángulo en una etapa y la siguiente, y s=3 el número de partes generadas en cada etapa, de la definición de dimensión fractal como D =log s / log r, resulta:
D =log 3 / log 2 = 1.585.
ConstrucciónLongitud / Dimensión
Iteracción 1 >> Área = 3 / 4
Iteracción 2 >> Área = 9 / 16
Iteracción 3 >> Área = 27 / 64
Iteracción 4 >> Área = 81 / 256
Como podemos ver en esta serie el area de el triangulo tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:area = p ^ i * f ^ i
Donde:p = nº de partes = 3i = nº iteracionesf = factor de escala = 1/2También obtenemos que la dimensión de semejanza es:
Ds = log 3 / log 2
Para la construcción de "El Triángulo de Sierpinski" aplicamos 3 semejanzas:
f 1 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 )
f 2 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y /3 )
f 3 (x,y) = ( x / 3 + ( 2 * cos (60º) ) / 3 , y / 3 + ( 2 * sen (60º) ) / 3
LINK PARA PRUBA DE CONSTRUCCION DEL FRACTAL
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